푸리에 해석을 이용하면 아주 복잡한 현상을 쉽게 해석할 수 있습니다. 마치 똑바로 봤을 때는 손도 될 수 없는 것을 시야를 달리해서 보니 손쉽게 푸는 것과 같습니다. 현대에는 이 푸리에 해석법이 신호처리, 통신, 음성, 영상 처리 등 다양한 분야에서 사용됩니다. 그 시작에는 푸리에 시리즈(푸리에 급수)가 있습니다.
chapter 1. 푸리에는 누구?
그림 1. 조제프 푸리에(그림 출처 : 위키백과)
이 분이 오늘의 주인공 푸리에(1768. 3. 21 ~ 1830. 5. 16) 선생님입니다. 재봉사의 아들로 태어난 푸리에는 어린 시절 부모님 두 분을 모두 잃었다고 합니다. 비천한 신분에 돈도 없었지만 천주교에서 운영하는 학교에서 기초 교육을 받을 수 있었습니다. 프랑스 전반에 스며들어 있던 수학적 환경으로 수학분야 논문을 꾸준히 읽고 드물게 논물도 발표했습니다. 25살 에는 프랑스 대혁명(1789년)에도 참가했습니다. 이 프랑스 대혁명이 그 유명한 '자유 평등 박애'의 가치를 들고 루이 16세와 왕비 마리앙트와네트의 목을 치게 만들었던 사건입니다. 그러나 1799년 총재정부 일각과 손잡고 일으킨 쿠데타로 나폴레옹의 군사독재가 시작됩니다.(민주주의가 이렇게 힘든 건가 봅니다ㅜ) 다재다능 했던 푸리에를 나폴레옹은 가만두지 않습니다.
그림 2.민중을 이끄는 자유의 여신(그림 출처: 나무위키)
27살에는 고등 사범학교에 들어가 스승인 라그랑쥐(Joseph Louis Lagranage), 라플라스(Pierre-Simon Laplace)를 만납니다. 공업수학 책에서 자주 뵙는 분들...^^ 푸리에의 능력이 뛰어났기 때문에 이후에도 서로 돈독한 관계를 유지 합니다.
푸리에가 후에 기여하게 되는 열방정식과 푸리에 급수가 나타나기까지는 몇 가지 고난이 남아있는데, 이는 나폴레옹이 푸리에를 마음에 들어했기 때문입니다. 푸리에는 나폴레옹과 이집트 원정을 가고 이집트 원정전에 근무하던 이공과 대학 교수로 남기를 원했지만 나폴레옹은 그레노블 도지사로 발령을 냈습니다.
나폴레옹은 대포와 매우 인연이 깊었습니다. 그 자체가 포병 출신이었기 때문입니다. 따라서 그 당시에 물체를 가열 했을 때의 열의 전달 방식을 연구하는 건 중요한 일이었습니다. 푸리에는 도지사 업무를 수행하면서 틈틈이 열의 전달 방식을 연구했고 열이 퍼져 나가는 상태도 파동으로 나타낼 수 있었습니다. 푸리에가 관찰한 파동은 매우 복잡했지만 주기를 갖고 있었습니다. 즉 , 같은 형태의 파동이 겨듭하여 나타나는 것이었습니다. 드디어 만족할만한 결과를 얻은 푸리에는 1807년 12월 21일에 열 방정식과 푸리에 해석법을 최초로 소개한 논문을 과학 학술원에 제출합니다. 하지만 결과는 다소 비참합니다. 심사위원을 맡은 푸리에의 박사학위 지도교수 라그랑쥐와 라플라스는 푸리에 논문의 약점을 정확히 지적합니다. 1811년 수학상은 결국 푸리에에게 돌아가지만 논란이 계속되어 과학 학술원은 푸리에의 논문을 공식적으로 출판하지 않습니다. 라그랑쥐가 원하는 수준의 세밀한 수학적 증명은 푸리에의 제자인 디리클레의 몫이었습니다.
푸리에는 독자적으로 열 방정식과 푸리에 급수 연구를 계속하여 1822년에 자비로 책을 출판해서 대중에게 공개 합니다. 수학계에는 푸리에 급수에 대한 의구심이 남아있었지만 푸리에의 아이디어는 과학 전분야로 빠르게 퍼져 나갑니다. 푸리에는 상상도 못했겠지만 열 문제를 풀기 위한 푸리에 급수는 50년 후 전자파 방정식을 풀기 위한 표준 방법론이 되었고 약 100년후에는 무선통신을 위한 기본도구가 됩니다.
chapter 2. 급수
뭐 이런 형태의... 기억나실겁니다!
푸리에 급수도 수열들의 합의 형태를 가지고 있습니다. 이제 본격적으로 푸리에가 무엇을 발견했는지 알아보도록합니다.
chapter 3. 푸리에의 발견
푸리에의 발견 : 같은 형태를 반복하는 주기를 가진 파동은, 아무리 복잡한 것이라도 단순한 파동이 잔뜩 결합해 이루어진다.
이를 식으로 나타내면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
(복잡한 파동) = (단순한 파동 1) + (단순한 파동 2) + (단순한 파동 3) + ...
복잡한 파동의 특징을 설명하는 건 어렵지만, 단순한 파동으로 분해 할 수 있다면 '그걸 더하면 돼' 식으로 간단하게 설명할 수 있습니다.
파동이 어렵게 느껴진다면 생과일 주스로 이를 대신할 수 있습니다.
3-1) 과일 주스 이야기
습식 사우나에 들어간 것만 같은 더운 여름날. 푸리에 선생님은 더위를 식히기 위해 생과일 주스 전문점에 들어갔습니다. 마침 주스집 알바생은 공대생이었기에 푸리에 선생님을 알아봤습니다. 알바생은 전공 수업에 자신을 괴롭혔던 푸리에 급수가 생각나 푸리에 선생님을 원망 했습니다. "선생님이 발견하신 푸리에 급수가 250년 후의 학생들도 괴롭히고 있다는 사실을 알고 계십니까?"
푸리에는 자주 듣던 이야기인지 전혀 아랑곳하지 않고 대답했습니다.
"푸리에 급수는 그렇게 어려운 게 아니라네. 푸리에 급수에 대해 알려줄테니 생과일 주스 세 잔을 과일 조합을 달리해서 가져와보게."
알바생은 시키는 대로 과일 주스 세잔을 가져왔습니다. 목이 말랐던 푸리에는 놓자마자 주스를 들이켰습니다.
"키야! 주스 만드는 솜씨가 아주 수준급이구만. 내 자네가 힘들여 주스를 가져왔으니 하나 알려주겠네. 잘 듣게나." 알바생은 귀를 기울였습니다. "생과일 주스는 쟤 아무리 시원하고 맛있다 하더라도 과일들의 조합들로 이뤄진게야." 알바생은 잠시 고민하더니 다음과 같이 표를 그렸습니다.
| 푸리에의 발견 | 과일 주스 이야기 |
| 복잡한 파동 | 생과일 주스 |
| 단순한 파동 | 과일 |
알바생은 감사 인사를 하려 고개를 들었지만 푸리에 선생님은 이미 자리에 없었습니다.
3-2) 벡터
벡터에서도 아주 유사한 개념이 있습니다.이를 설명하기 위해 평면 상에 점을 하나 가정합니다.
우리는 평면 상의 점을 표현하기 위해서 기준이 되는 좌표축을 설정해야합니다. 그 후 X축과 Y축에 해당하는 값을 읽음으로써 점의 위치를 표현합니다.
x축을 u1, y축을 u2라고 하면 평면 상의 점은 다음과 같이 표현 가능합니다.
$$ a\overrightarrow{u_1} + b\overrightarrow{u_2} $$혹은
$$ [a, b] $$
이 때 축이되는 u1과 u2는 서로 직교(orthogonal)해야 합니다. 이 조건을 수학적으로 나타내면 '두 축의 내적이 0 이다'로 표현가능합니다. 이를 수식으로 나타내면
$$ \overrightarrow{u_1} \cdot \overrightarrow{u_2} = 0 $$
이 조건이 성립하지 않을 경우 평면상의 모든 점들을 표현하는 게 불가능합니다.
공간상의 점의 경우는 어떠할까요? 공간 상의 점을 표현하기 위해선 하나의 축이 더 필요합니다. 이처럼 어떤 점을 표현하기 위한 최소한의 축의 개수를 rank 혹은 dimension이라고 부르기도 합니다.
그렇다면 이렇게 생각해볼수 있습니다. 점이 어떤 차원에 존재하던 축의 개수를 무한히 늘리면 모든 차원의 점을 표시할 수 있지 않을까. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.
이 형태를 기억하시길 바랍니다. 푸리에 급수도 최종적으로는 이와 거의 유사한 형태로 표현됩니다.
푸리에는 복잡한 파동을 단순한 파동으로 나타낼 수 있다는 걸 발견했습니다. 생과일 주스가 왜 이런 맛이 나는지 궁금할 때는 주스에 어떤 과일들이 조합됐는지 확인하면 됩니다. 벡터도 마찬가지입니다. 어떤 차원에 점이 존재하던 단순한 축성분들로 점을 표현할 수 있습니다.
*정리
| 푸리에의 발견 | 과일 주스 이야기 | 벡터 |
| 복잡한 파동 | 생과일 주스 | 점 |
| 단순한 파동 | 과일 | 축 성분 |
#하이젠베르크가 양자역학을 벡터로 나타내고 슈뢰딩거가 양자역학을 함수로 나타낸 것처럼 각 방식은 같은 사물을 다른 시각으로 보는 방식이라고 합니다.
chapter 4. 푸리에 급수
푸리에 급수는 푸리에가 발견한 급수 입니다. 급수는 숫자들의 나열을 합한것이죠. 푸리에가 발견한 급수가 무엇이었는 지 다시 확인해볼까요?
푸리에의 발견 : 같은 형태를 반복하는 주기를 가진 파동은, 아무리 복잡한 것이라도 단순한 파동이 잔뜩 결합해 이루어진다.
4-1) 단순한 파동
여기서 말하는 단순한 파동은 무엇일까요?
답은 삼각함수 입니다. 삼각함수란 직각삼각형에서 직각이 아닌 각을 택하고, 이 각을 Θ로 두었을 때 Θ에 대한 두 변의 비율의 함수입니다.
그림 출처 : wikipedia , Trigonometric functions
이제 삼각함수를 이용하여
(복잡한 파동) = (단순한 파동 1) + (단순한 파동 2) + (단순한 파동 3) + ...
를 수식으로 나타내면 다음과 같이 표현 할 수 있습니다.
이 식에서 살펴 볼건 다음과 같습니다.
1) a_0의 존재
사인 파동이건 코사인 파동이건 간에 언제나 0을 중심으로 진동하는 파동이기 때문에 0이 중심이 아닌 파동은 표현할 수 없습니다. 복잡한 파동은 중심이 0 이 아닐 수 도 있으므로 중심이 0이 아닌 파동을 표현하기 위해 a0는 필수적입니다.
2) 주기 적인 파동은 기본주파수가 정수배인 주파수의 파동들로 이루어져 있다.
단순한 파동 모두 ω, 2ω, 3ω, ... 처럼 기본주파수의 정수배로 이루어져 있습니다. 복잡한 파동 f(t)가 주기를 가진 파동이기 때문에 단순한 파동들도 주기를 반복해야 하고 이를 만족하려면 기본 주파수의 정수배가 되야 합니다.
위의 식을 sigma를 이용하면 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
4-2) a_n , b_n을 구해보자
위의 식에서 a_n과 b_n이 의미하는 것은 무엇일까요. 각각은 단순한 파동들이 얼마나 들어있는지를 의미합니다.
같은 종류의 과일이 들어간 생과일 주스라도 각 과일들이 얼만큼 들어갔느냐에 따라 맛이 다릅니다. 평면 상의 점들도 x축 성분과 y축 성분이 얼마만큼 있냐에 따라 전혀 다른 점이 됩니다. 이와 마찬가지로 같은 종류의 단순한 파동으로 이루어졌다하더라도 각 단순파동들이 얼만큼 들어있냐에 따라 파동의 종류는 완전히 달라집니다.
각 성분들이 얼마만큼 들어있는지는 어떻게 구할 수 있을까요?
※함수의 직교성
벡터에서 직교성을 확인하기 위해 내적을 이용했습니다. 함수의 직교성 역시 내적을 이용하면 됩니다.
함수의 내적은 다음과 같이 정의됩니다.
즉, 서로 곱해서 적분해주면 됩니다. (벡터의 내적의 경우는 곱해서 더했습니다. ) 마찬가지로 내적 값이 0이 된다면 구간 [a b]에서 f(x)와 g(x)는 직교(orthogonal)한다고 할 수있습니다.
sin(x) 와 cos(x)의 내적을 구해볼까요? 먼저 둘을 곱합니다. (구간은 [0 2 pi]로 설정합니다.)
sin(x)와 cos(x)의 곱은 4가지 영역으로 나눠서 생각해볼 수 있습니다.
㉠ O 영역은 양수 X 양수 이므로 양수 입니다.
㉡ ☆ 영역은 양수 X 음수 이므로 음수 입니다.
㉢ △ 영역은 음수 X 음수 이므로 양수 입니다.
㉣ □ 영역은 음수 X 양수 이므로 음수 입니다.
㉠ ㉡ ㉢ ㉣ 각 영역의 크기는 동일 하므로 ㉠ + ㉡ + ㉢ + ㉣ = 0 이 됩니다.
따라서 sin(x)와 cos(x) 는 주기 내에서 직교합니다. 이는 삼각함수 공식을 이용해 적분으로 계산해도 같은 결과가 나옵니다.
cos(x)와 cos(2x)의 내적도 같은 방법으로 구할수 있습니다.
㉠ O 영역에서 cos(x)는 양수 이고 cos(2x)는 반은 양수 나머지 반은 음수 입니다. 따라서 둘의 곱의 적분은 0이 됩니다.
㉡ ☆ 영역에서 cos(x)는 음수 이고 cos(2x)는 아래 위로 진동하게 되어 마찬가지로 둘의 곱의 적분은 0이 됩니다.
㉢ △ 영역에서 cos(x)는 음수 이고 cos(2x)는 위 아래로 진동하게 되어 마찬가지로 둘의 곱의 적분은 0이 됩니다.
㉣ □ 영역에서 cos(x)는 양수 이고 cos(2x)는 아래 위로 진동하게 되어 마찬가지로 둘의 곱의 적분은 0이 됩니다.
㉠ ㉡ ㉢ ㉣ 각 영역의 적분이 0이므로 ㉠ + ㉡ + ㉢ + ㉣ = 0 이 됩니다.
따라서 cos(x)와 cos(2x)의 내적은 0이므로 둘은 직교(orthogonal)합니다. 이를 일반화 시키면 cos(mx)와 cos(nx)의 내적이 0임을 알 수 있습니다. 이는 삼각함수 공식을 이용해 증명할 수 있습니다.
그렇다면 내적이 0 이 아닌 경우는 언제일까요? 바로 자기 자신을 내적하는 경우입니다.
㉠ O 영역은 양수 X 양수 이므로 양수 입니다.
㉡ ☆ 영역은 음수 X 음수 이므로 양수 입니다.
㉢ △ 영역은 음수 X 음수 이므로 양수 입니다.
㉣ □ 영역은 양수 X 양수 이므로 양수 입니다.
네 영역 모두 양수이므로 ㉠ + ㉡ + ㉢ + ㉣ ≠ 0 따라서 둘은 서로 직교하지 않습니다.
*정리
함수의 직교성을 통해 알수 있는 건 자기 자신을 내적하는 경우를 제외하곤 0이나온다는 사실입니다. 이를 이용해서 a_n과 b_n을 구하면 됩니다.
1) a_0는 f(t)를 주기로 적분을 하여 구할 수 있습니다. 코사인 파트와 사인 파트는 주기로 적분하게 되면 0이 됩니다.
2) a해서는 a_n을 _n을 구하기 위제외한 나머지 성분은 제거해야 합니다. 자기 자신을 곱하는 경우에 내적이 0이 아닌 것을 위의 결과로 알고 있기 때문에 f(t)에 cos(nωt)를 곱하고 주기로 적분합니다.
위의 함수의 직교성에서
을 만족함을 확인했습니다. 또한 코사인 함수도 주기로 적분을 하면 0이 됩니다. 이를 위의 식에 적용합니다.
다음 공식을 이용해서 삼각함수 곱의 형식을 덧셈 형식으로 바꿉니다.
cos(2nwt)의 주기는 T/2입니다. T로 적분하게 되면 주기를 두 번 돌게 되므로 이 역시 T로 적분하면 값이 0이 됩니다.
따라서 위의 식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
*그림으로 생각해보기.
3) b_n도 마찬가지로 b_n을 제외한 나머지 성분은 제거해야 합니다. 자기 자신을 곱하는 경우에 내적이 0이 아닌 것을 위의 결과로 알고 있기 때문에 f(t)에 sin(nωt)를 곱하고 주기로 적분합니다. b_n 역시 a_n과 동일한 방법으로 계산하면 아래와 같이 구할 수 있습니다.
4-3) 오일러 공식
지금까지의 결과를 정리하면 다음과 같습니다.
상당히 많은 진전이 있었지만 아직 위의 벡터 표현법과는 꽤 차이가 있습니다.
이를 오일러 공식을 이용해 정리하면 매우 근사한 형태를 얻을 수 있습니다.
오일러 공식은 다음과 같습니다.
오일러 공식을 푸리에 급수 공식에 대입합니다.
안쪽 괄호를 펼칩니다.
e^inwt와 e^-inwt로 묶습니다.
a_n과 b_n에도 오일러 공식을 대입합니다.
i를 반대편으로 넘깁니다.
a_n과 i*b_n 모두 비슷한 형태를 가집니다. 이 둘을 더하고 빼서 아래와 같이 정리합니다.
각각을 A_n과 B_n으로 둡니다.
f(t)를 다음과 같이 정리 할 수 있습니다.
이제 거의 완성 단계 입니다. 좀 더 간결한 형태를 만들기 위해 sigma를 풉니다.
이를 하나로 합치면 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
최종적인 푸리에 급수 형태입니다.
| 푸리에 급수 | 과일 주스 | 벡터 |
 |
생과일 주스 |  |
 |
과일 |  |
 |
과일이 들어간 개수 |  |
*reference
열이 통신이 되다: 열 방정식(heat becomes communication: heat equation) by 전파 거북이